Persama Lingkaran Rumus Dan Cara Menghitungnya

Artikel Ini Akan Akan Membahas Secara Mendalam Tentang Persama Lingkaran, Sebuah Konsep Dalam Fundamental Dalam Geometri Analitik. Kita Akane Mengupas Tuntas Rumus-Rumus Yang Terkait, Metode Perhitungan Yang Efektif, Serta Berbagai Variasi Soal Yang Sering Muncul. Pemahaman Yang Baik Tentang Persama Lingkaran Akan Sanganh Membantu Dalam Menyelesaan Berbagai Permasalanahan Matematika Dan Fisika Yang Melibatkan Bentuk Geometri ini.

Memahami Konsep Dasar Lingkaran

Lingkaran, Dalam Definisi Geometrisnya, Adalah Himpunan Semua Titik Yang Berjarak Sama Dari Sebuah Titik Pusat. Jarak Yang sama ini disebut Jari-jari Lingkaran. Konsep Sederhana Ini Menjadi Dasar Bagi Pengembangan Persama Lingkaran, Yang memunckikan Kita untuk Mendeskripsikan Lingkaran Secara Aljabar.

Dalam Koordinat Kartesius, Sebuah Lingkaran Dapat Direpresentasikan Gangan Perama Yang Menghubungkan Koordinat X Dan Y Dari Setiap Titik Pada Lingkaran Koordinat Pusat Linggaran (A, B) Dan Jari-Jari Ra. PersAMAN INI MEMUGKINKAN KITA UNTUK MENENTUKAN APAKAH SUATU TITIK TERLELEK PAYA LINGKARAN ATAU TIDAK, Serta UNTUK MENGITING BERBAGAI PROPERTI LINGARAN SEPERTI LUAS DAN KELILY.

BACA JUGA: Persama Kuadrat: Rumus Dan Contoh Penyelesian

PERSAMAN LINGARAN MEMILIKI DUA BENTUK UTAMA: Standar Persama Lingkaran (Atau Persama Pusat) Dan Persama Lingkaran Umum. Standar Perama Lebih Muda Digunakan Ketika Kita MenGetahUi Koordinat Pusat Dan Jari-Jari Linggaran, Sedangkan Persama Umum Lebih Berguna Ketika Kita Diberikan Informasi Lain Lain Lingkaran, Septeri Tiga Tiig Padi Lain Lain Lain Lingkaran, Septeri Tiga Tigi.

Standar Persama Lingkaran (PUSAT)

Persama Lingkaran Standar, Rona Denkenal Sebagai PUSAT PUSAT, ADALAH BENTUK PERSAMAN LINGKARAN YANG PALING UMUM DAN MUDAH DIPAHAMI. PersAMAN INI DINYATANAN SEBAGAI:

(x – a) ² + (y – b) ² = r²

BACA JUGA: RUMUS LIMAS: MEMAHAMI GEOMETRI DENGAN MUDAH

DI MANA:

• (X, Y) Adalah Koordinat Darip Setiap Titik Pada Lingkaran.
• (A, b) Adalah Koordinat Dari Pusat Lingkaran.
• R Adalah Jari-Jari Lingkaran.

Persama Ini Didasarkan Pada Teorema Pythagoras. Jarak Antara Titik (X, Y) Pada Lingkaran Dan Pusat Lingkaran (A, B) Selalu Sama Delan Jari-Jari r. Jarak ini Dapat Dihitung Menggunakan Rumus Jarak:

√ ((x – a) ² + (y – b) ²) = r

Delanan Mengkuadratkan Kedua Sisi Persama, Kita Mendapatkan Perama Perama Linggaran.

Contoh:

Sebuah Lingkaran Memilisi Pusat Di (2, -3) Dan Jari -Jari 5. Maka, Persama Lingkaran Standarnya Adalah:

BACA JUGA: Volume Limas: Rumus Dan Contohnya Dalam Soal Matematika

(x – 2) ² + (y + 3) ² = 25

PersAMAN INI Dapat Digunakan untuk Menentukan Apakah Suatu Titik Terletak Pada Lingkaran. Misalnya, Titik (5, 1) TERLETAK PAYA LINGKARAN KARENA:

(5 – 2) ² + (1 + 3) ² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Sedangkan Titik (1, -1) Tidak Terletak Pada Lingkaran Karena:

(1-2) ² + (-1 + 3) ² = (-1) ² + 2² = 1 + 4 = 5 ≠ 25

PERSAMAN LINGKARAN UMUM

PersAMAN LINGKARAN UMUM ADALAH BENTUK PERSAMAN LINGKARAN YANG LEBIH KOMPLEKS, Tetapi LEBIH FLEKSIBEL. PersAMAN INI DINYATANAN SEBAGAI:

x² + y² + kapak + oleh + c = 0

Di Mana A, B, Dan C Adalah Konstanta.

Persama Lingkaran Umum Dapat Diubah Menjadi Persama Lingkaran Standar Metode Menggunakan Melengkapkan Kuadrat. Proses ini melibatkan Pengelompokan Suku-Suku X Dan Y, Kemudian Menambahkan Dan Mengurangkan Konstanta Yang Sesuai UNTUK BEMENTUK KUADRAT SEMPURNA.

BACA JUGA: Volume Menghitung Limas Rumus Dan Contoh Soal

Langkah-Langkah Mengubah Persama Umum Menjadi Perdana Perama:

1. Kelompokkan Suku-Suku X Dan Y: (x² + kapak) + (y² + oleh) + c = 0
2. Lengkapkan kuadrat unku -suku x: (x² + kapak + (a/2) ²) + (y² + oleh) + c – (a/2) ² = 0
3. Lengkapkan kuadrat unku -suku y: (x² + kapak + (a/2) ²) + (y² + oleh + (b/2) ²) + c – (a/2) ² – (b/2) ² = 0
4. Faktorkan Kuadrat Sempurna: (x + a/2) ² + (y + b/2) ² = (a/2) ² + (b/2) ² – c

Dari Standar Perama Yang Diperolh, Kita Dapat Menentukan Pusat Lingkaran Dan Jari-Jarinya:

• PUSAT LINGKARAN: (-A/2, -B/2)
• Jari -Jari Lingkaran: √ ((a/2) ² + (b/2) ² – c)

Contoh:

Ubah Persama Lingkaran Umum BerIKUT Menjadi Standar Perama:

x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0

1. Kelompokkan Suku -Suku X Dan Y: (x² – 4x) + (y² + 6y) – 12 = 0
2. Lengkapkan Kuadrat unku -suku x: (x² – 4x + 4) + (y² + 6y) – 12 – 4 = 0
3. Lengkapkan kuadrat unku -suku y: (x² – 4x + 4) + (y² + 6y + 9) – 12 – 4 – 9 = 0
4. Faktorkan Kuadrat Sempurna: (x – 2) ² + (y + 3) ² = 25

Dari Standar Perama Yang Diperolh, Kita Dapat Menentukan Pusat Lingkaran Dan Jari-Jarinya:

• PUSAT LINGKARAN: (2, -3)
• Jari-Jari Lingkaran: √25 = 5

BACA JUGA: Rumus Luas Permukaan Limas Segi Empat Penjelasan

Menentukan Persama Lingkaran Dari Informasi Yang Darahahui

Seringkali, Kita Tidak Diberikan Persama Lingkaran Secara Langsung, Tetapi Kita Diberikan Informasi Lain Tentang Lingkaran, Seperti Koordinat Pusat Dan Jari-Jari, Atau Tiga Titik Yang Terletak Sadi Lingkaran. Dalam Kasus ini, Kita Perlu Menggunakan Informasi Yang Diberikan untuk Menentukan Persama Lingkaran.

1. DEKETAHUI PUSAT DAN JARI-JARI:

Jika Kita MenGetahUi Koordinat Pusat Lingkaran (A, B) Dan Jari-Jari R, Kita Dapat Langsung Menggunakan Perama Lingkaran:

(x – a) ² + (y – b) ² = r²

2. DEKETAHUI TIGA TITIK PAYA LINGKARAN:

Jika Kita MenGesarUi Tiga Titik Yang Terletak Pada Lingkaran, Kita Dapat Menggunakan Metode Substitusi untuk menentukan PersAMAAN LINGKARAN UMUM. Misalkan tiga titik tersebut adalah (x₁, y₁), (x₂, y₂), dan (x₃, y₃). Kita Substitusika Koordinat ketiga titik ini ke dalam perama lingkaran umum:

x₁² + y₁² + ax₁ + by₁ + c = 0

x₂² + y₂² + ax₂ + by₂ + c = 0

x₃² + y₃² + ax₃ + by₃ + c = 0

Kita Mendapatkan Sistem Tiga Permana Linear Gelan Tiga Variabel (A, B, Dan C). Kita Dapat Menyelesaan Sistem Persama Ini Untuc Menemukan Nilai A, B, Dan C. Setelah Kita Menemukan Nilai A, B, Dan C, Kita Dapat MensubstitusikaNA ke Dalam Lingkaran Umum Uluk Mendapatkan Lingapan Lingkar.

BACA JUGA: Deret Geometri Konsep Dan Contoh Dalam Matematika

Contoh:

Tentukan Persama Lingkaran Yang Melalui Titik-Titik (1, 1), (5, -1), Dan (-2, 0).

Substitusikan Koordinat Ketiga Titik Ke Dalam Persama Lingkaran Umum:

1² + 1² + a (1) + b (1) + c = 0 => a + b + c = -2

5² + (-1) ² + a (5) + b (-1) + c = 0 => 5a -b + c = -26

(-2) ² + 0² + a (-2) + b (0) + c = 0 => -2a + c = -4

Selesaan sistem perama linear ini unkapatkan nilai a, b, Dan C. shALI SATU Cara untuk Sistem Sistem Persama Ini Adalah Delangan Menggunakan Metode Eliminasi Atau Subtitusi.

Dari Persama Ketiga, Kita Dapatkan C = 2a – 4. Substitusika ini ke dalam Perama Perama Dan Kedua:

A + b + (2a – 4) = -2 => 3a + b = 2

5a – b + (2a – 4) = -26 => 7a – b = -22

Jumlahkan Kedua Persama ini untuk Mengeliminasi b:

10a = -20 => a = -2

Substituusikan A = -2 Ke Dalam Persama 3a + B = 2:

3 (-2) + b = 2 => b = 8

Substitusika A = -2 Ke Dalam Perama C = 2A – 4:

C = 2 (-2) -4 => C = -8

Jadi, Persama Lingkaran Umumnya Adalah:

x² + y² – 2x + 8y – 8 = 0

ATTAUK HIUBAHYA KE PERSAMAN, KITA LENGKAPI KUADRAT:

(x² – 2x + 1) + (y² + 8y + 16) – 8 – 1 – 16 = 0

(x – 1) ² + (y + 4) ² = 25

Pusat Lingkaran Adalah (1, -4) Dan Jari -Jarinya Adalah 5.

BACA JUGA: Deret Geometri Rumus Dan Contoh Soal Praktis

APLIKASI PERSAMAN LINGKARAN

PersAMAN LINGARAN MEMILIKI BANYAK APLIKASI DALAM BERBAGAI BIDANG, Termasuk:

• Matematika: PersAMAAN LINGKARAN DIGUNIGA DALAM GEOMETRI ANALITIK UNTUK MEMPELAJARI SIFAT-SIFAT LINGKARAN, SEPERTI LUAS, Keliling, Dan Persama Garis Singgung.
• Fisika: PersAMAAN LINGKARAN DIGUNAKAN UNTUK MENDESKRIPSIKAN GERAK MELINGKAR, Planet Seperti Gerak Mengelilingi Matahari Atau Gerak Partikel Dalam Medan Magnet.
• Teknik: Persama Lingkaran Dalaman Dalam Desain Berbagai Struktur, Seperti Jembatan, Terowongan, Dan Roda Gigi.
• Komputer Grafika: PersAMAN LINGKARAN DIGUNAKAN UNTUK MANG -MEMGAMBAR LINGKARAN DAN KURVA MELINGKAR PAYA KOMPUTER LAYAR.
• Navigasi: Persama Lingkaran Dalaman Dalam Sistem Navigasi untuk Menentukan Posisi Dan Arah.

Contoh Aplikasi:

1. Menentukan Jarak Terdekat Antara Titik Dan Lingkaran:

Misalkan Kita Memilisi Sebuah Titik P (X₀, Y₀) Dan Sebuah Lingkaran Pusat (A, b) Dan Jari-jari r. Jarak Terdekat Antara Titik P Dan Lingkaran Adalah Jarak Antara Titik P Dan Pusat Lingkaran Dikurangi Jari-Jari Lingkaran:

d = √ ((x₀ – a) ² + (y₀ – b) ²) – r

Jika d

Jika D = 0, Maka Titik P Berada Pada Lingkaran.

Jika D> 0, Maka Titik P Berada Di Luar Lingkaran.

BACA JUGA: Jaring-Jaring Balok Konsep Dasar Dalam Geometri

2. Menentukan Persama Garis Singgung Lingkaran:

PersAMAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN DI Titik (X₁, Y₁) PAYA LINGKARAN (X – A) ² + (Y – B) ² = R² Adalah:

(x₁ – a) (x – a) + (y₁ – b) (y – b) = r²

PersAMAN INI Dapat Digunakan untuk Menentukan Persama Garis Singgung Lingkaran Di Titik Manapun Pada Lingkaran.

Soal-Sooal Latihan Dan Pembahasan

BERIKUT ADALAH BEBERAPA CONSOH SOAL LATUHAN TENTANG PERSAMAN LINGKARAN BESERTA Pembahasananya:

Soal 1:

Tentukan Persama Lingkaran Yang Berpusat Di (0, 0) Dan Memiliki Jari-Jari 3.

Pembahasan:

Karena Pusat Lingkaran Adalah (0, 0), Maka A = 0 Dan B = 0. Jari-Jari Lingkaran Adalah 3, Maka R = 3. Substitusikan Nilai-nilai ini ke dalam Peranda Perama Lingkaran:

(x – 0) ² + (y – 0) ² = 3²

x² + y² = 9

Jadi, Persama Lingkaran Tersebut Adalah X² + Y² = 9.

Soal 2:

Tentukan Pusat Dan Jari -Jari Lingkaran Anggan Persama X² + Y² – 6x + 4y – 12 = 0.

Pembahasan:

Ubah Persama Lingkaran Umum ini menjadi Standar Perama Delangan Melengkapkan Kuadrat:

(x² – 6x) + (y² + 4y) – 12 = 0

(x² – 6x + 9) + (y² + 4y + 4) – 12 – 9 – 4 = 0

(x – 3) ² + (y + 2) ² = 25

Dari Standar Perama Ini, Kita Dapat Menentukan Pusat Dan Jari-Jari Lingkaran:

PUSAT LINGKARAN: (3, -2)

Jari-Jari Lingkaran: √25 = 5

Soal 3:

Tentukan Persama Garis Singgung Lingkaran X² + Y² = 25 Di Titik (3, 4).

Pembahasan:

Persama Lingkaran Adalah X² + Y² = 25, Yang Berarti Pusat Lingkaran Adalah (0, 0) Dan Jari-Jariya Adalah 5. Titik (3, 4) Terletak Pada Lingkaran Karena 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

Gunakan Persama Garis Singgung Lingkaran:

(x₁ – a) (x – a) + (y₁ – b) (y – b) = r²

(3 – 0) (x – 0) + (4 – 0) (y – 0) = 25

3x + 4y = 25

Jadi, Persama Garis Singgung Lingkaran Di Titik (3, 4) Adalah 3x + 4y = 25.

Kesimpulan

Persama Lingkaran Adalah Alat Yang Ampuh untuk Mendeskripsikan Dan Menganalisis Lingkaran Dalam Geometri Analitik. Pemahaman Yang Baik Tentang Perama Lingkaran Standar Dan Umum, Serta Metode untuk Mengubah Antara Kedua Bentuk Ini, Sangan Penting untuk Menyelesaan Berbagai Permasalanahan Matematika Dan Fisika Yang Melibatan Lingkaran. Delangan Menguasi Konsep-Konsep ini, dan AKAN Dapat Dapat Mudaah Menentukan Persama Lingkaran Dari Informasi Yang Darahahui, Menghitudung Properti Lingkaran, Dan Menerapkan Persama Lingaran Dalam Berbagai Aplikasi Aplikasi Aplikasi.

Selain Itu, Latahan Soal-Soal Yang Beragam Akan Memperuat Pemahaman dan Tentang Persama Lingkaran Dan Meningkatkan Kemampuan dan Dalam Menyelesaikan Masalah Yang Lebih Kompleks. Jangan ragu unkari sumber-sumber-sumber belajar tambahan, seperti buku teks, tutorial video, dan situs web interaktif, unkerdalam pengitart anda tentang topik ini.

Semoga Artikel ini Bermanfaat BAGI YANG BAIK DALAM MEMAHAMI PERSAMAN LINGKARAN DAN APLIKASINYA. Selamat Belajar Dan Semoga Sukses! (I-2)